Pengetahuan

Bagaimana faktor polinomial daripada tahap kedua (persamaan tahap kedua)

Posted on
Pengarang: Monica Porter
Tarikh Penciptaan: 17 Mac 2021
Tarikh Kemas Kini: 1 Julai 2024
Anonim
PERSAMAAN POLINOMIAL - Materi Matematika Peminatan Kelas XI Semester Genap - MAN 2 KOTA MALANG
Video.: PERSAMAAN POLINOMIAL - Materi Matematika Peminatan Kelas XI Semester Genap - MAN 2 KOTA MALANG

Kandungan

Dalam artikel ini: Teruskan oleh percubaan dan ralatProcede oleh penguraian "Permainan triple" Perbezaan dua kotak Gunakan formula kuadrat Menggunakan pengiraan kalkulator

Polinomial terdiri daripada pembolehubah (x) yang dibangkitkan kepada kuasa tertentu yang dipanggil tahap polinomial, dan beberapa istilah lain darjah rendah dan / atau beberapa pemalar lain. Untuk memaksimumkan polinomial dari tahap kedua (juga dikenali sebagai "persamaan kuadrat") bermakna mengurangkan ungkapan awal kepada suatu produk ungkapan darjah yang lebih kecil yang kemudian boleh didarabkan oleh yang lain. Pengetahuan ini adalah sebahagian daripada kursus sekolah tinggi dan banyak lagi, jadi artikel ini mungkin sukar difahami jika anda belum mempunyai tahap matematik yang diperlukan.


peringkat

Untuk bermula



  1. Tulis ungkapan anda. Bentuk standar persamaan gelar kedua adalah:

    ax + bx + c = 0
    Mulakan dengan mengatur syarat-syarat persamaan anda mengikut perintah kuasa, dari yang terbesar ke yang terkecil, seperti dalam bentuk piawai. Ambil contohnya:

    6 + 6x + 13x = 0
    Kami akan menyusun semula ungkapan ini untuk memudahkan kerja dengan hanya memindahkan syarat:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Cari borang yang difaktorkan menggunakan salah satu kaedah yang dijelaskan di bawah. Faktor penipuan akan memberikan dua ungkapan yang lebih pendek yang akan memberi polinomial permulaan jika kita membiak mereka satu demi satu:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    Dalam contoh ini, (2x +3) dan (3x + 2) adalah faktor ungkapan awal, 6x + 13x + 6.




  3. Semak kerja anda! Melipatgandakan faktor yang telah dikenalpasti. Kemudian gabungkan istilah yang sama dan anda akan selesai. Mulakan dengan:

    (2x + 3) (3x + 2)
    Mari mulailah menguji ungkapan ini, mengalikan syarat dua ungkapan untuk mendapatkan:

    6x + 4x + 9x + 6
    Dari sana, kita boleh menambah 4x dan 9x kerana mereka adalah syarat yang sama. Kita tahu bahawa faktor-faktor kita adalah betul kerana kita jatuh hati dengan ungkapan keberangkatan:

    6x + 13x + 6.

Kaedah 1 Teruskan oleh percubaan dan kesilapan

Jika anda berurusan dengan polinomial yang agak mudah, anda sepatutnya dapat mencari penguraiannya sebagai produk faktor sepintas lalu. Contohnya, ramai ahli matematik dapat melihat ungkapan itu 4x + 4x + 1 memberi faktor (2x + 1) dan (2x + 1) dengan tabiat dan pengalaman (jelasnya, ini tidak begitu mudah dalam hal polinomial kompleks). Untuk contoh ini, mari kita mengambil ungkapan yang kurang biasa:


3x + 2x - 8

.



  1. Buat senarai faktor pekali mempunyai dan c. Menggunakan ungkapan bentuk ax + bx + c = 0, kenal pasti pekali mempunyai dan c dan senaraikan faktor yang sepadan. Untuk: 3x + 2x - 8, ini memberi:

    a = 3 dan hanya mempunyai sepasang faktor: 1 * 3
    c = -8 dan empat pasang faktor: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, dan -1 * 8 ..



  2. Tulis di atas kertas anda dua pasang kurungan dengan ruang untuk menulis di dalamnya. Anda akan memasuki pemalar bagi setiap ungkapan dalam ruang yang disediakan:

    (x) (x).



  3. Sebelum x, tulis sepasang faktor yang mungkin untuk pekali mempunyai. Untuk pekali mempunyai dalam contoh kita, 3x, hanya ada satu kemungkinan:

    (3x) (1x).



  4. Kemudian masukkan dua ruang kosong yang tinggal dengan sepasang faktor untuk pekali c. Ambil contoh 8 dan 1. Tuliskannya ke bawah:

    (3x8) (X1).



  5. Tentukan sekarang tanda (lebih atau kurang) untuk meletakkan antara x dan nombor yang anda letakkan selepasnya. Menurut tanda ungkapan asal, adalah mungkin untuk mencari apa yang harus menjadi tanda-tanda pemalar. panggilan h dan k pemalar faktor kita:

    Jika ax + bx + c maka (x + h) (x + k)
    Jika ax - bx - c atau kapak + bx - c maka (x - h) (x + k)
    Jika ax - bx + c maka (x - h) (x - k)
    Dalam contoh kami, 3x + 2x - 8, tanda-tanda mesti diletakkan dengan cara berikut: (x - h) (x + k), yang memberi kita dua faktor berikut:

    (3x + 8) dan (x - 1).



  6. Periksa borang yang anda percayai dengan memajukannya. Ujian cepat pertama adalah untuk memeriksa sama ada jangka menengah mempunyai nilai yang betul. Jika x tidak baik, maka anda mungkin telah memilih pasangan faktor yang salah untuk pekali c. Mari periksa keputusan kami:

    (3x + 8) (x - 1)
    Dengan melakukan pendaraban, kami dapat:

    3x - 3x + 8x - 8
    Menambah istilah yang sama (-3x) dan (8x) untuk memudahkan ungkapan ini, kami memperoleh:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Sekarang kita tahu bahawa kita mungkin mengenal pasti faktor-faktor yang salah:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Sekiranya perlu, tukar faktor pilihan anda. Dalam contoh kami, mari kita cuba 2 dan 4 bukannya 1 dan 8:

    (3x + 2) (x - 4)
    Sekarang pekali kami c adalah -8, tetapi pendaraban (3x * -4) dan (2 * x) memberi -12x dan 2x, yang di samping itu tidak selalu memberikan nilai awal b, iaitu + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. Sekiranya perlu, timbangkan pesanan. Kami membalikkan contoh kami tempat 2 dan 4:

    (3x + 4) (x - 2)
    Sekarang pekali c sentiasa baik, tetapi pekali istilah dalam x bernilai masa ini -6x dan 4x. Setelah ditambahkan, ini memberi:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Kami sangat dekat dengan nilai awal 2x yang kami cari, tetapi tanda itu tidak baik.



  9. Semak tanda semula jika perlu. Kami sekarang akan menyimpan perintah yang sama, tetapi kami akan menukar tanda-tanda:

    (3x - 4) (x + 2)
    Pekali sebelum ini c sentiasa baik, dan istilah dalam x kini bernilai (6x) dan (-4x). Sejak:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Jadi kita mendapat 2x yang asalnya kita ada. Oleh itu, kami mungkin mendapati faktor yang betul.

Kaedah 2 Teruskan dengan penguraian

Kaedah ini akan membolehkan kita mengenal pasti semua faktor yang mungkin untuk mendapatkan pekali mempunyai dan c dan gunakannya untuk mengenal pasti faktor-faktor mana yang betul. Sekiranya bilangannya sangat besar atau kaedah percubaan dan kesalahan lain kelihatan terlalu panjang, anda boleh menggunakan kaedah ini. Ambil contoh berikut:

6x + 13x + 6

.



  1. Keluarkan pekali mempunyai oleh pekali c. Dalam contoh kami, mempunyai bersamaan dengan 6 dan c juga sama dengan 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Cari pekali b oleh pemfaktoran dan kemudian menguji faktor yang diperolehi. Kami sedang mencari dua nombor yang merupakan faktor produk mempunyai * c yang telah kami kenal pasti dan jumlahnya bernilai nilai pekali "b" (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Perkenalkan dua nombor yang anda baru masuk ke persamaan anda; letakkannya di hadapan x, supaya jumlahnya sama dengan pekali b. Mari ambil surat k dan h untuk mewakili dua nombor yang diperoleh, 4 dan 9:

    ax + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Faktor polinomial anda dengan mengelompokkan. Susunkan persamaan ini untuk mencari faktor umum yang terbesar dalam dua istilah pertama dan faktor umum yang paling besar dalam dua istilah terakhir. Anda perlu mendapatkan jumlah dua bentuk yang sama. Jumlah dua koefisien bersama-sama dan masukkannya dalam tanda kurung di hadapan borang yang anda percayai; anda kemudian mendapat dua faktor:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

Kaedah 3 "permainan triple"

Kaedah ini sangat serupa dengan yang terdahulu. Ini terdiri daripada memeriksa faktor-faktor yang mungkin bagi produk pekali mempunyai dan c, kemudian gunakannya untuk mencari nilai b. Ambil contoh persamaan berikut:

8x + 10x + 2



  1. Keluarkan pekali mempunyai oleh pekali c. Seperti kaedah penguraian, ini akan membantu kami mengenal pasti calon berpotensi untuk pekali b. Dalam contoh kami, mempunyai bersamaan dengan 8 dan c bernilai 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Cari dua nombor yang produknya adalah nombor yang dijumpai lebih awal (16) dan yang jumlahnya memberikan pekali "b". Langkah ini adalah sama dengan kaedah penguraian - iaitu, kita menguji dan menolak calon untuk pemalar. Produk pekali mempunyai dan c adalah sama dengan 16, dan pekali c bersamaan dengan 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Ambil kedua nombor ini dan gantikannya dalam formula "triple play". Ambil dua nombor dari langkah sebelumnya - mari memanggilnya h dan k - dan memperkenalkannya dalam ungkapan berikut:

    ((ax + h) (ax + k)) / a

    Kami kemudiannya mendapat:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Cari yang mana ungkapan ekspresi dalam pengangka boleh dibahagikan dengan pekali mempunyai. Dalam contoh ini, kita menguji jika (8x + 8) atau (8x + 2) boleh dibahagikan dengan 8. (8x + 8) dibahagikan dengan 8, maka kita akan membahagikan ungkapan ini dengan mempunyai dan meninggalkan ekspresi yang lain kerana ia.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Ungkapan yang kita simpan di sini adalah yang tersisa selepas pembahagian oleh pekali mempunyai : (x + 1).



  5. Cari - jika ada - faktor umum yang lebih besar dalam kedua-dua kurungan. Dalam contoh kami, ungkapan kedua mempunyai faktor umum yang lebih besar daripada 2, kerana 8x + 2 = 2 (4x + 1). Gabungkan jawapan ini dengan ungkapan yang anda temukan dalam langkah sebelumnya. Anda telah menemui dua faktor polinomial anda.

    2 (x + 1) (4x + 1).

Kaedah 4 Perbezaan dua kuasa dua

Sesetengah pekali polinomial boleh dikenalpasti sebagai "dataran", iaitu sebagai produk pendaraban dua nombor. Dengan mengenal pasti kotak-kotak ini, anda boleh menimbulkan beberapa polinomial lebih cepat. Ambil contoh persamaan:

27x - 12 = 0



  1. Mulakan dengan menganjurkan segala-galanya menjadi faktor yang lebih besar jika mungkin. Dalam contoh kita, kita lihat 27 dan 12, kedua-duanya dibahagikan dengan 3, jadi kita boleh "pecah" ungkapan awal seperti berikut:

    27x - 12 = 3 (9x - 4).



  2. Kenal pasti jika pekali persamaan anda adalah nombor kuasa dua. Untuk menggunakan kaedah ini, anda harus dapat mencari akar persegi untuk pekali anda (perhatikan bahawa kita tidak menganggap tanda negatif - seperti yang kita hadapi dengan dataran, ia mungkin merupakan hasil daripada dua nombor positif atau negatif)

    9x = 3x * 3x dan 4 = 2 * 2.



  3. Menggunakan akar persegi yang anda dapati, tulis faktor anda. Ambil nilai-nilai mempunyai dan c sebelum ini - mempunyai = 9 dan c = 4 - sebelum mencari akar kuadrat mereka - √mempunyai = 3 dan √c = 2. Ini akan menjadi koefisien ungkapan-ungkapan kita yang berkepentingan:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Kaedah 5 Menggunakan formula kuadratik

Jika semua kaedah di atas telah gagal dan anda tidak dapat mencari faktor yang betul untuk persamaan anda, maka gunakan formula kuadratik. Ambil contoh berikut:

x + 4x + 1 = 0



  1. Ambil nilai pekali "a", "b" dan "c" dan gantikannya dalam formula kuadrat berikut:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Kami kemudian mendapatkan ungkapan:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Selesaikan persamaan untuk mencari x. Seperti yang dapat anda lihat di atas, anda perlu mendapatkan dua nilai x:


    x = -2 + √ (3) atau x = -2 - √ (3).



  3. Gunakan nilai x untuk mencari faktor. Masukkan nilai x yang diperoleh sebelumnya sebagai pemalar dari dua ungkapan polinomial. Ini akan menjadi faktor anda. panggilan h dan k nilai x, dan tuliskan dua bentuk yang difikirkan:

    (x - h) (x - k)
    Dalam kes ini, keputusan akhir adalah:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

Kaedah 6 Menggunakan kalkulator

Jika anda dibenarkan menggunakan kalkulator grafik, ketahui bahawa ini akan memudahkan tugas anda, terutamanya semasa peperiksaan. Arahan ini hanya sah untuk kalkulator grafik jenama Texas Instrument. Ambil contoh persamaan berikut:

y = x - x - 2



  1. Masukkan persamaan anda dalam kalkulator. Anda perlu menggunakan "persamaan resolver", iaitu skrin.



  2. Buat perwakilan grafik persamaan anda pada kalkulator. Selepas memasukkan persamaan, tekan - anda kemudiannya akan melihat gambaran grafik kurva muncul (lebih tepatnya, anda akan mendapat "arka" kerana anda sedang bekerja pada polinomial).



  3. Cari titik persilangan arka dengan paksi-x (x). Oleh kerana persamaan polinomial secara tradisional ditulis dalam bentuk: ax + bx + c = 0, ini adalah dua nilai x yang mana ungkapannya sama dengan sifar:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Jika anda tidak dapat membaca nilai-nilai di mana lengkung anda melintas paksi-x, tekan kemudian. Tekan atau pilih "sifar". Gerakkan kursor di sebelah kiri salah satu persimpangan dan tekan. Kemudian gerakkan kursor di sebelah kanan persimpangan ini dan tekan lagi. Seterusnya, alihkan kursor seketika ke persimpangan dan tekan lagi. Kalkulator akan mencari nilai x. Lakukan perkara yang sama seterusnya untuk persimpangan yang lain.



  4. Akhir sekali, memperkenalkan nilai x yang diperoleh pada langkah sebelumnya ke dalam ungkapan dua faktor. Sekiranya kita memanggil h dan k dua nilai x kami, kami akan menggunakan ungkapan berikut:

    (x - h) (x - k) = 0
    Oleh itu, kami akan mendapat dua faktor berikut:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Pensil
  • Kertas
  • Persamaan darjah kedua (atau persamaan kuadratik)
  • Kalkulator grafik (pilihan)